数学题 高手看下吧
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆离心率是？给个简单的几何解法吧谢了...
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆离心率是？
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|F1 F2|=2c.
三角形ABF2是正三角形，F1 F2是该正三角形的高，
所以该正三角形的边长是4√3c/3.
从而|AF2|=4√3c/3. |AF1|=2√3c/3.
由椭圆定义知：|AF1|+|AF2|=2a.
2√3c/3+4√3c/3=2a.
2√3c=2a. c/a=√3/3. e=√3/3.
三角形ABF2是正三角形，F1 F2是该正三角形的高，
所以该正三角形的边长是4√3c/3.
从而|AF2|=4√3c/3. |AF1|=2√3c/3.
由椭圆定义知：|AF1|+|AF2|=2a.
2√3c/3+4√3c/3=2a.
2√3c=2a. c/a=√3/3. e=√3/3.
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