Question

在线等！！各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn=an(an+1),n∈N

数列bn-b（n-1）=an-1(n大于2)，且b1=1
设Tn为数列1/(bn+2n)的前n项和，若Tn小于等于ka(n+1)对一切正整数很成立，求k的最小值

Answer 1

n=1时，
2a1=2S1=a1(a1+1)
a1²-a1=0
a1(a1-1)=0
a1=0(舍去)或a1=1
n≥2时，2an=2Sn-2S(n-1)=an(an+1)-a(n-1)[a(n-1)+1]
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
数列各项均为正，an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-1=0
an-a(n-1)=1，为定值，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列
an=1+1×(n-1)=n
bn-b(n-1)=an -1
b(n-1)-b(n-2)=a(n-1)-1
…………
b2-b1=a2-1
累加
bn-b1=a2+a3+...+an -(n-1)
bn=b1+a2+a3+...+an -(n-1)
=1+2+3+...+n -(n-1)
=n(n+1)/2 -(n-1)
=(n²+n-2n+2)/2
=(n²-n+2)/2
1/(bn+2n)=1/[(n²-n+2)/2 +2n]
=1/[(n²-n+2+4n)/2]
=1/[(n²+3n+2)/2]
=2/[(n+1)(n+2)]
=2[1/(n+1)-1/(n+2)]
Tn=2[1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n+1)-1/(n+2)]
=2[1/2 -1/(n+2)]
=n/(n+2)
Tn≤ka(n+1)
n/(n+2)≤k(n+1)
k≥n/[(n+1)(n+2)]
k≥n/(n²+3n+2)
k≥1/(n +2/n +3)
由均值不等式得n +2/n≥2√2，当且仅当n=√2时取等号，又n为正整数，要考察n+ 2/n的最小值，只需考虑n=1，n=2时的情况
n=1时，n+ 2/n=1+2=3 n=2时，n+2/n=2+1=3
即当且仅当n=1，n=2时，n+2/n有最小值3，此时n+2/n+3有最小值6
1/(n+2/n+3)有最大值1/6，要不等式k≥1/(n +2/n +3)对于任意正整数n恒成立，只需
k≥1/6
k的最小值为1/6

Answer 2

2Sn=(an+1)*an=an^2+an
2S(n+1)=a(n+1)^2+a(n+1)
2S(n+1)-2Sn=2a(n+1)=[a(n+1)^2+a(n+1)]-(an^2+an)
整理得：a(n+1)^2-a(n+1)-an^2-an=0
即[a(n+1)^2-an^2]=[a(n+1)+an]，[a(n+1)-an]*[a(n+1)+an]=a(n+1)+an
因为任意an>0，等式两边a(n+1)+an可消，于是有a(n+1)-an=1
2Sn=an^2+an，则2a1=a1^2+a1，a1=1
an=1+(n-1)*d=1+(n-1)*1=n

追问

是求k