Question

若abc为整数,且|a-b|2013次方+|c-a|2013次方=1,试求|c-a|+|a-b|+|b-c|

若abc为整数,且|a-b|2013次方+|c-a|2013次方=1,试求|c-a|+|a-b|+|b-c|
a0x^10+a1x^9+…+a9x+a10=(x^2-x+1)^5,求(1)a10 (2)a0+a2+a4+a6+a8+a10
(3)a0+a2+a4+…+a80

Answer 1

若abc为整数,且|a-b|2013次方+|c-a|2013次方=1
|a-b|2013次方为整数且都大于等于0
|c-a|2013次方为整数且都大于等于0
当|a-b|=0，|c-a|=1时，|b-c|=1
|c-a|+|a-b|+|b-c|=1+0+1=2
当|a-b|=1，|c-a|=0时，|b-c|=1
|c-a|+|a-b|+|b-c|=0+1+1=2

追问

天才！拜托，能帮忙回答一下这个问题吗：
a0x^10+a1x^9+…+a9x+a10=(x^2-x+1)^5,
求(1)a10 (2)a0+a2+a4+a6+a8+a10 (3)a0+a2+a4+…+a80

追答

（1）假设x=0，代入计算
a10 =（0^2-0+1）^5=1

（2）假设x=1
则x的任意次方是1
所以a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=
(1-1+1)^5=1
假设x=-1
则x奇数次方是-1，偶数次方是1
所以a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=(1+1+1)^5=243
两式相加
2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=244
a0+a2+a4+a6+a8+a10=122
第（3）小问我不会算，不好意思

Answer 2

答案应该是2

因为两个的2013次方的和等于1
且三者都是整数
所以，可能 |a-b|=1且 |c-a|=0
也可能|a-b|=0 且 |c-a|=1

把上面的带入表达式
所以结果为2

追问

天才！拜托，能帮忙回答一下这个问题吗：
a0x^10+a1x^9+…+a9x+a10=(x^2-x+1)^5,
求(1)a10 (2)a0+a2+a4+a6+a8+a10 (3)a0+a2+a4+…+a80

Answer 3

由|a-b|^2013+|c-a|^2013=1知a=b=c不成立，且之间差值不大于1，且b≠c，由此可知，a=b或a=c
设a=b,则c=b+1=a+1(或减一也可)，|c-a|+|a-b|+|b-c|=1+0+1=2
设a=c，结论仍然相同。

追问

天才！拜托，能帮忙回答一下这个问题吗：
a0x^10+a1x^9+…+a9x+a10=(x^2-x+1)^5,
求(1)a10 (2)a0+a2+a4+a6+a8+a10 (3)a0+a2+a4+…+a80