Question

已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，

已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，
下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c＜0；④a+c＞0，
其中正确结论有

Answer 1

开口向下，a<0
对称轴在右半平面，即x=-b/(2a)>0,得b>0
在y轴上截在上半平面，即c>0
因此有abc<0, 故1错误

对称轴x=-b/(2a)<1,又因a<0,因此有b<-2a,得2a+b<0,故2正确

x=-2时，从图上看出y<0
即4a-2b+c<0, 故3正确

由图，可得y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1>1, -1<x2<0，且对称轴0<(x1+x2)/2<1
c=ax1x2
a+c=a(x1x2+1)
当x1=2,x2=-1/2, 则有a+c=0
因此4不一定正确。

所以正确的为：② ③

Answer 2

（1）抛物线开口向下，因此 a<0 ；
（2）对称轴在 y 轴右侧，因此 -b/(2a)>0 ，所以 b>0 ，
（3）与 y 轴的交点在 y 轴正半轴，因此 c>0 ，
（4）对称轴介于 0、1 之间，因此 0< -b/(2a)<1 ，所以 2a+b<0 ，
（5）抛物线与直线 x= -2 的交点在 x 轴下方，因此 a(-2)^2+b(-2)+c<0 ，即 4a-2b+c<0 ，
（6）抛物线与 x 轴的两个交点分别为 x1、x2，可知 -1/2<x1<0 ，1<x2<2 ，
所以 x1>x1x2>2x1 ，因此 x1x2> -1 ，即 c/a> -1 ，由于 a<0 ，因此 c< -a ，则 a+c<0 。
从以上 6 个结论可以看出，题目中正确的是 ②③ 。