Question

如图，在直角三角形ABC中，角C=90度，BC=6,AC=3,过点B作点A为圆心，…………求证，E

如图，在直角三角形ABC中，角C=90度，BC=6,AC=3,过点B作点A为圆心，…………求证，ED平行AB。求线段EF的唱及sin角EDF。

Answer 1

（1）
∵BC、BD分别切⊙A于C、D，∴CD⊥AB、AC⊥BC，∴∠BAC＝∠BCD（同是∠ABC的余角）。
∵BC切⊙A于C，∴∠BCD＝∠DEC，而∠BAC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BAC，∴ED∥AB。

（2）
由切线长定理，有：BD＝BC＝6。
显然有：AE＝AC＝AD＝3。
∵ED∥AB，∴DF/BD＝EF/AE，∴DF/6＝EF/3，∴DF＝2EF。
∵BD切⊙A于D，∴DF⊥AD，∴由勾股定理，有：AF^2＝DF^2＋AD^2，
∴（AE＋EF）^2＝4EF^2＋9，∴（3＋EF）^2＝4EF^2＋9，∴9＋6EF＋EF^2＝4EF^2＋9，
∴3EF^2＝6EF，∴EF＝2。
∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠ABF。
∵BC、BD分别切⊙A于C、D，∴∠ABF＝∠ABC，又∠EDF＝∠ABF，∴∠EDF＝∠ABC。
∴sin∠EDF＝sin∠ABC＝AC/AB＝AC/√（AC^2＋BC^2）＝3/√（9＋36）＝√5/5。

追问

第一小问CD为什么垂直AB？

Answer 2

（1）
∵BC、BD分别切⊙A于C、D，DC为圆的弦且AB过圆的半径
∴CD⊥AB，AC⊥BC
∴∠BAC＝∠BCD
∵BC切⊙A于C
∴∠BCD＝∠DEC，而∠BAC＝∠BCD
∴∠DEC＝∠BAC
∴ED∥AB

（2）
由切线长定理，有：BD＝BC＝6。
显然有：AE＝AC＝AD＝3。
∵ED∥AB
∴DF/BD＝EF/AE
∴DF/6＝EF/3
∴DF＝2EF
∵BD切⊙A于D
∴DF⊥AD
∴由勾股定理，有：AF^2＝DF^2＋AD^2
∴（AE＋EF）^2＝4EF^2＋9
∴（3＋EF）^2＝4EF^2＋9
∴9＋6EF＋EF^2＝4EF^2＋9
∴3EF^2＝6EF，∴EF＝2
∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠ABF
∵BC、BD分别切⊙A于C、D
∴∠ABF＝∠ABC，又∠EDF＝∠ABF
∴∠EDF＝∠ABC
∴sin∠EDF＝sin∠ABC＝AC/AB＝AC/√（AC^2＋BC^2）＝3/√（9＋36）＝√5/5。

Answer 3

（1）、连接DC可证明DE⊥DC,AB
⊥DC 所以DE∥AB （2）由1）∠ABF＝∠ABC，∠EDF＝∠ABF（切线定理）所以sin∠EDF＝sin∠ABC =AC/√（AC^2＋BC^2）＝3/√（9＋36）＝√5/5。