Question

已知函数f（x）=log a （1+x），g（x） =log a （1-x）其中（a＞0且a≠1

已知函数f（x）=log a （1+x），g（x）

=log a （1-x）其中（a＞0且a≠1），设

h（x）=f（x）-g（x） （1）求函数h（x）的定义域，判断h（x） 的奇偶性，并说明理由； （2）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x 的集合

Answer 1

解由h（x）=f（x）-g（x）

=log a （1+x）-log a （1-x）
则x+1＞0且1-x＞0
即x＞-1且x＜1
即-1＜x＜1
即函数的定义域为｛x/-1＜x＜1｝
此时
h（x）=f（x）-g（x）

=log a （1+x）-log a （1-x）
=loga（1+x）/(1-x）
判断为奇函数
h（-x）
=loga（1+（-x））/(1-（-x））
=loga（1-x）/(1+x）
=loga[（1+x）/(1-x）]^(-1)
=-loga（1+x）/(1-x）
=-f（x）
故f（x）是奇函数
2 f（3）=2，

即f（3）=log a （1+3）=2
即a^2=4
即a=2
h（x）=log2（1+x）/(1-x）＜0
即log2（1+x）/(1-x）＜log2（1）
即0＜（1+x）/(1-x）＜1
由-1＜x＜1
故（1+x）/(1-x）成立
又由（1+x）/(1-x）＜1
即1+x＜1-x
即x＜0
即-1＜x＜0
使h（x）＜0成立的x 的集合｛x/-1＜x＜0｝。