Question

已知函数f（x）=-1/3（x三次方）+1/2ax²-3x，g（x）xlnx。

（1）当a=4时，求函数f（x）的单调区间
（2）求函数g（x）再区间[t，t+1]（t>0）最小值
（3）若存在x1，x2属于[1/e,e](x1≠ x2)，使方程f‘（x）=2g（x）成立，求实数a的取值范围（其中e=2.71828···是自然的对数的底数）

Answer 1

1）f(x)=-1/3x^3+2x^2-3x
f'(x)=-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)
所以当x<1或x>3时f(x)单减，当1<x<3时f(x)单增

2）g'(x)=lnx+1 令g'(x)=0得x=1/e
当0<t<=1/e时，t+1>1/3,g(x)min=g(1/e)=-1/e
当t>1/e时，g(x）单增，g(x)min=g(t)=t*lnt

3）f'(x)=-x^2+ax-3
设h(x)=f'(x)-2g(x)=-x^2+ax-3-2xlnx (1/e<x<e)
h'(x）=-2x+a-2lnx-2
h"(x)=-2-2/x<0 故h'(x)单减
h'(1/e)=a-2/e h'(e）=-2e+a-4
当h‘(1/e)<0或h'(e)>0时，h(x)在1/e到e 上单调，不可能有两个根，排除
当h‘(1/e)>0且h'(e)<0时，2/e<a<2e+4 由h'(x)=0得x=x0
令h(1/e)<0,h(e)<0且h(x0)<0,与2/e<a<2e+4取交集得
2/e<a<e+2+3/e

所以a的取值范围是(2/e,e+2+3/e)