Question

高二数学大题。求过程。谢谢

Answer 1

双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)具有性质：若P,Q是双曲线上关于原点O对称的两点,点R是双曲线上任意一点,当直线PR,QR的斜率都存在,并记为k1,k2,则k1·k2是与点R位置无关的定值。
证明：设P为(m,n),则Q为(-m,-n),又设R为(x,y)，
∵x²/a²-y²/b=1,m²/a²-n²/b²=1,
两式相减,得：(x-m)(x+m)/a²-(y-n)(y+n)/b²=0,
∴k1=(y-n)/(x-m)=b²(x+m)/a²(y+n)，
同理可得k2=(y+n)/(x+m)=b²(x-m)/a²(y-m)，
∴k1·k2=b²·b²(x²-m²)/a²·a²(y²-n²)
=b²·a²(y²-n²)/a²·a²(y²-n²)=b²/a²(定值)。