Question

已知a,b,c,d都是正数，求证(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

Answer 1

用基本不等式：
对于正数x、y，有：
x+y≥2√xy，
则：
ab+cd≥2√(abcd)
ac+bd≥2√(acbd)
(ab+cd)(ac+bd)
≥2√(abcd)×2√(acbd)
=4abcd
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Answer 2

(ab+cd)(ac+db)=aabc+ddbc+adcc+adbb=bc(aa+dd)+ad(bb+cc)
=bc(aa+dd-2ad+2ad) + ad(bb+cc-2bc+2bc)
=bc(a-d)(a-d)+2abcd + ad(b-c)(b-c)+2abcd
=bc(a-d)(a-d) + ad(b-c)(b-c) +4abcd
>=bc*0 + ad*0 +4abcd =4abcd （当a=d且b=c时取等号）
即：(ab+cd)(ac+db)>=4abcd