Question

已知双曲线x^2-y^2=1的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线

（2013绍兴市模拟）已知双曲线x^2-y^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于OA两点，若三角形AOF的面积为b^2，则双曲线的离心率为？
答案是根号5/2
请问具体怎么算呢，有没有简便的方法？

Answer 1

双曲线x^2-y^2=1(a>0,b>0)

右焦点为F(c,0),

过第一象限的渐近线L:y=b/ax，即bx-ay=0

L交圆与A,那么OA⊥AF,

|AF|为点F到渐近线L的距离，

根据点到之线距离公式

|AF|=|bc|/√(a²+b²)=bc/c=b

三角形OAF中，

|OA|=√(|OF|²-|AF|²)=√(c²-b²)=a

∴三角形AOF的面积

S=1/2*a*b=b^2

∴b=1/2a

∴c²=a²+b²=5/4a²

  e²=c²/a²=5/4

∴e=√5/2