Question

已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1的两个焦点为F1(-2，0)，F2(2，0)。点P(3，√

已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1的两个焦点为F1(-2，0)，F2(2，0)。点P(3，√7)在双曲线C上。 (1)求双曲线C的方程。 (2)记0为坐标原点，过点Q(0，2)的直线L与双曲线C租交于不同的两点E、F，若△0EF的面积为2√2，求直线l的方程

Answer 1

两个焦点为F1(-2，0)，F2(2，0)。 c=2
PF1=4√2 PF2=2√2
PF1-PF2=2a=2√2 a=√2
b^2=c^2-a^2=2
(1)双曲线方程为 x^2-y^2=2
(2)设直线方程为 y=kx+2
联立
x^2-y^2=2
y=kx+2
消y得：x^2-(k^2x^2+4kx+4)=2
(1-k^2)x^2-4kx-6=0
x1+x2=4k/(1-k^2) x1x2=-6/(1-k^2)
弦长公式：
EF=√(1+k^2)|x1-x2|
=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)*√[16k^2/(1-k^2)^2+24/(1-k^2)]
=2√(1+k^2)*√[(6-2k^2)/(1-k^2)^2]
原点到直线的距离d=2/√(1+k^2)
S=1/2*EF*d
=2√[(6-2k^2)/(1-k^2)^2]
=2√2
√[(6-2k^2)/(1-k^2)^2]=√2
[(6-2k^2)/(1-k^2)^2]=2
3-k^2=(1-k^2)^2
k^4-k^2-2=0
k^2=-1(舍)或k^2=2
所以k=±√2
直线方程为 :y=±√2x+2