Question

一道高一集合题，不会啊

对于函数f（x）=x则称x为f（x）的不动点，若f（f（x））=x，则称x为f（x）的稳定点，函数f（x）的不动点和稳定点的集合分别记为A,B即A={x|f（x）=x} B={x|f（f（x））=x}
（1）求证：A≤B
(2)若f（x）=ax2-1（a属于R ，x属于R）且A=B≠空集，求a的取值范围
注：ax2是ax的平方

Answer 1

（1）：若A＝空集 ，则A B显然成立；若A≠ 空集，设t∈A，则f（t）＝t，f〔f（t）〕＝f（t）＝t，即t∈B，从而A包含 B.�
【解】 （2）：A中元素是方程f（x）＝x，即ax2－1＝x的实根.�
由A≠ 空集，知a＝0或｛a≠0 Δ=1+4a≥0.｝即a≥－1/4.�
B中元素是方程a（ax2－1）2－1＝x，�即a3x4－2a2x2－x+a－1＝0的实根.�
由A 包含B知上方程左边含有一个因式ax2－x－1，即方程可化为（ax2－x－1）（a2x2+ax－a+1）＝0�
因此，要A＝B，即要方程a2x2+ax－a+1＝0①没有实根或实根是方程ax2－x－1＝0②的实根.�
若①没有实根，则Δ1＝a2－4a2（1－a）<0，则此解得a<3/4.�
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有a^2x^2＝ax+a，代入①有2ax+1＝0.�
由此解得x＝－1/2a，再代入②得1/4a+1/2a－1＝0，由此解得a＝3/4.故a的取值范围是〔－14，34〕

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