Question

已知△ABC的角平分线AD丶BE相交于点P

（1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？（2）在图2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．

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Answer 1

　　（1）答：PF=PG=PH。 证明：∵P在∠CAB的角平分线AD上，且PF⊥AC，PH⊥BA。∴ PF=PH（角平分线上的点到角两边的距离相等）
　　 ∵P在∠CBA的角平分线BE上，且PG⊥BC，PH⊥BA。∴PG=PH（角平分线上的点到角两边的距离相等）
　　 ∴PF=PG=PH。
　（2）答： PE=PD。
证明：过P作PG⊥BC，PF⊥AC，PH⊥BA。
∵PF=PG=PH（已证），∴PG=PF。
∵PG⊥BC，PF⊥AC，∴∠PGD=∠PFE=90°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=90°，∴∠EBA=∠CBE=∠ABC/2=45°
∵∠C=60°，∠ABC=90°。∴∠CBA=30°。又∵∠BEA=105°，∴∠PEF=75°。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=30°，∴∠DAB=∠CAB/2=15°，

又∵∠ABC=90°，∴∠PDG=75°，∴∠PEF=∠PDG=75°

在△PDG和△PEF中，，∠PGD=∠PFE=90°，∠PDG=∠PEF=75°，PG=PF。∴△PDG≌△PEF（AAS），∴PD=PE