Question

设f(x)=(x+1/x)^x,求f'(1/2)

Answer 1

lnf(x)=xlh(x+1/x)
=x[ln(1+x)-lnx]
f'(x)/f(x)=[ln(1+x)-lnx]+x·[1/(1+x)-1/x]
=[ln(1+x)-lnx]-1/(1+x）
f'(x)=(x+1/x)^x*[ln(1+x)-lnx-1/(1+x）]
代入x=1/2即得
f'(1/2)=3^(1/2)*[ln3-2/3]

Answer 2

y=f(x)=(x+1/x)^x
则lny=xln(x+1/x)
(1/y)*y'=ln(x+1/x)+x*1/(x+1/x)*(1-1/x²)
=ln(x+1/x)+(x²-1)/(x²+1)
y'=(x+1/x)^x*[ln(x+1/x)+(x²-1)/(x²+1)]
所以f'(1/2)=√(5/2)*[ln(5/2)-3/5]
=√10*ln(5/2)/2-3√10/10

Answer 3

lnf(x)=xlh(x+1/x)=x[ln(1+x)-lnx]ln(x+1/x)+x*1/(x+1/x)*(1-1/x²)=ln(x+1/x)+(x²-1)/(x²+1)f'(x)=(x+1/x)^x*[ln(1+x)-lnx-1/(1+x）]