Question

圆C:(x-1)的平方+（y-2）的平方=25及直线L(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.(m属于R)

证明无论m取什么实数，直线L与圆C总相交

Answer 1

(2m+1)x+(m+1)y=7m+4
2mx+x+my+y-7m-4=0
(2x+y-7)m=4-x-y
当2x+y-7=0,4-x-y=0时，等式恒成立
解得x=3，y=1
所以直线恒过(3,1)
圆心(1,2),半径是5
(3,1)和(1,2)的距离是根号[(3-1)²+(1-2)²]=根号5小于半径
所以这个点在圆内
所以过这个点的直线一定和圆相交

Answer 2

直线L (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
m(2x+y-7)+x+y-4=0
所以 无论m取何值时 都经过定点
2x+y-7=0
x+y-4=0
所以x=3 y=1
即经过定点（3,1）
园 （x-1）²+（y-2)²=25
定点与圆心的距离 L=√(2²+1)=√5＜5
所以定点（3,1）在园内，所以无论m取什么实数，直线L与圆C总相交