Question

求助 定积分证明题 ——请证明：【积分区间为0到π】∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx

Answer 1

∫(0-->π)xf(sinx)dx=∫(0-->π/2)xf(sinx)dx+∫(π/2-->π)xf(sinx)dx
对后面这个积分令t=π-x 可以化为∫(0-->π/2)(π-t)f(sint)dt
再相加就得到右边

Answer 2

移到一边，积分限内：
(x-π/2)f(sinx)
令x-π/2=p
pf(Cosp)，P积分限为-π/2至π/2，p为奇函数，f(Cosp)为偶函数，pf(Cosp)为奇函数，对称区间中积分为0.

追问

你好，我有一个疑问就是——p为奇函数？是怎么看出的？
x-π/2=p，那么P不就是单调递增的直线吗？

追答

f(p)=p
f(-p)=-p=-f(p),奇函数
变量代换后，积分已经由针对x变为针对p了，并针对[-π/2,π/2]区间进行积分。

追问

可以这样理解吗？
针对积分区间p [-π/2,π/2]区间,
f(p)=f(π/2)=π/2,
f(-p)=f(-π/2)=-π/2=-f(π/2)=-f(p)

追答

f(-p)=-f(p),这是奇函数的特征，不针对某区间成立，对整个定义域都成立。奇函数沿Y轴反对称，【积分区间沿Y轴对称时】积分时两侧面积相同，符号相反，互相抵消。