Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC AD=3cm BC=7cm ∠B=60º P是下底上的

一点（不与B、C重合） 连接AP，过P做PE交DC于点E，使∠APE=∠B，在底边BC上能否存在一点P使DE∶EC=5∶3，若存在求出BP的长，若不存在，说明理由

Answer 1

1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE；

（2）解：过A作AF⊥BC于F；
∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，
∴BF=
7−3
2
＝2cm，
∵Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；
∴AB=4cm；

（3）解：存在这样的点P．
理由是：∵
DE：EC＝5：3
DE+EC＝DC＝4

解之得EC=
3
2
cm．
设BP=x，则PC=7-x
由△ABP∽△PCE可得

AB
PC
=
BP
EC
，
∵AB=4，PC=7-x，
∴
4
7−x
=
x
3
2

解之得x1=1，x2=6，
经检验都符合题意，
即BP=1cm或BP=6cm．