Question

如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在△ABC的外部,且AD⊥BD,AD交BC于点E,连接CD,过点C作CG⊥CD,交AD于点G.

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在△ABC的外部，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．

（1）若CG=4，求DG的长；
（2）若CG=BD，求证：AB=AC+CE．做EF⊥AB

Answer 1

(1).∵∠ACG+∠GCE=∠BCD+∠GCE=90º
∠CAG+∠CEA=∠CBD+∠BED=90º ∠CEA=∠BED
∴∠ACG=∠BCD,∠CAG=∠CBD,又∵AC=BC, ∴△ACG≌△BCD
∴CD=CG=4.∵CG⊥CD∴GD=4√2
(2)∵CG=BD.CG=CD∴CD=BD,∠CDB=∠CDE+∠EDB=45º+90º=135º
∴∠DCB=∠DBC=∠CAG=22.5º,∵AC=BC,ACB=90°,
∴∠DAB=∠CAB-∠CAG=45º-22.5º=22.5º=∠CAG
∴AD为∠CAB的角平分线，∵CE⊥AC，EF⊥AB，∠FBE=45º
∴CE=EF =BF, AC=AF（角平分线定理）
∴AB=AF+BF=AC+CE