Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+x+1，a∈R

已知函数f(x)=x^3+ax^2+x+1，a∈R⑴讨论函数f(x)的单调区间；
⑵设函数f(x)在区间(-2/3，-1/3)内是减函数，求a的取值范围. (要求详细解答过程)

Answer 1

解，求导，f'（x)=3x^2+2ax+1
根的判别式=4a^2-12
当a^2<=3时，函数单增
当a^2>3时，令f'(x)=0,x=(-2a+根号下的4a^2-12）/6 or =(-2a-根号下的4a^2-12）/6
因为3>0,所以当x>=(-2a+根号下的4a^2-12）/6 or x<=(-2a-根号下的4a^2-12）/6时，f(x)单增
当(-2a-根号下的4a^2-12）/6 < x<(-2a+根号下的4a^2-12）/6 时，f(x)单减
由f(x)在区间(-2/3，-1/3)内是减函数，则f'（x)=3x^2+2ax+1在区间(-2/3，-1/3)上小于0，恒成立。
所以，f'（x)max<0
由1知，当a^2<=3,f'（x)>=0恒成立,舍去
当a^2>3时，对称轴x=-a/3 开口向上
f'（x)max=f'（-2/3）或f'（-1/3）
f'（-2/3）=7/3-4/3 a <0 f'（-1/3）=4/3-2/3 a<0
所以，a>2 又a^2>3，a>2 成立

Answer 2

(1)
df(X)/dx=3x^2+2ax+1
求解当df(X)/dx>0时和当df(X)/dx<0的解集，就是f(x)的单调区间，当df(X)/dx>0时对应单调上升，当df(X)/dx<0时对应单调下降

(2)
函数在区间（-2/3，1/3）内的减函数,即在-2/3和1/3处df(X)/dx=0，
求解此时的a的值，就是a的边界

Answer 3

令导数f '(x)=3x^2+2ax+1=0 配方解x 再验证根两侧的函数单调性 再继续就好了么

Answer 4

求导数 相当简单啊