Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F，当DE平分∠CDB时，求证:AF＝√2OA

Answer 1

解答：（1）解：∵
CE
EB
=
1
3
，
∴
CE
BC
=
1
4
．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴
EF
DF
=
CE
AD
，
∴
EF
DF
=
CE
BC
=
1
4
，
∴
S△CEF
S△CDF
=
EF
DF
=
1
4
；

（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=
OA2+OD2
=
2
OA，
∴AF=
2
OA．

（3）证明：连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE=
1
2
CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴
EF
DF
=
OE
CD
=
1
2
，
∴
EF
ED
=
1
3
．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴
GF
CD
=
EF
ED
=
1
3
．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴
GF
CD
=
CG
BC
=
1
3
，
∴
CG
BG
=
1
2
．
∴CG=
1
2
BG．

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