Question

高等数学：求定积分如图所示该怎么解答，有多少种做法啊

Answer 1

设θ=tanx
0<=θ<=2π
0<=x<=arctan(2π)
tanx=2π =>
1+θ^2=(secx)^2
dθ=(secx)^2dx
0->2π ∫sqrt(1+θ^2)dθ=
0->2π ∫ (secx)^3dx=
0->2π ∫ (tanx)^2*secx dx +0->2π ∫ secx dx=
=1/2 (tan(x) sec(x)-log(cos(x/2)-sin(x/2))+log(sin(x/2)+cos(x/2))) | 0->arctan(2π)
π*sqrt(1+4*π^2)+1/2 sinh^(-1)(2 pi)≈21.2563

Answer 2

用换元法可以做，不过千万不要把theta看成角度，理解成x就行了。
或者用分部积分法结合凑微分法，也能做。
QQ149390284详细聊聊