Question

已知，如图，抛物线Y=ax^2+3ax+c【a＞0】与Y轴交于C点，与X轴交于A,B两点，A点在B点左侧

点B的坐标为【1，0】OC=3OB
【 1】求抛物线的解析式
【2】若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值

Answer 1

分析：（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．

解：（1）∵B（1，0），
∴B=1；
∵OC=3BO，
∴C（0，-3）；
∵y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），
∴c=-3 a+3a+c=0 ；
解这个方程组，得 a=3/4 c=-3
∴抛物线的解析式为： y=（3/4）x的平方+9/4x-3

（2）过点D作DM‖y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在 y=（3/4）x的平方+9/4x-3 中，令y=0，
得方程 （3/4）x的平方+9/4x-3=0
解这个方程，得x1=-4，x2=1
∴A（-4，0）
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴ 0=-4K+b b=-3
解这个方程组，得 k=-3/4 b=-3
∴AC的解析式为： y=-3/4x-3
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
= 15/2+1/2DM(AN+CN)
= 15/2+2Dm
设D（x，（3/4）x的平方+9/4x-3 ）M（x，-3/4x-3）
DM=-3/4x-3-（3/4）x的平方+9/4x-3=-3/4（x+2）的平方+3，
当x=-2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值 27/2