Question

高等代数证明题求解

两道证明题，求大神解答

Answer 1

1题的（1）（2）小题很容易证明，直接用子空间和不变子空间的定义验证就可以了。下面证明（3）小题。

2题的证明。

Answer 2

1、1）证明：设x,y属于T-1(0)，则T(ax+by)=aT(x)+bT(y)=a*0+b*0=0，即ax+by属于T-1(0),所以T-1（0）是V的子空间
设x,y属于T(V)，则存在a,b属于V使T(a)=x,T(b)=y,所以k1x+k2y=k1T(a)+k2T(b)=T(K1a+k2b)属于T(V)，故T(V)是V的子空间
2）T(T-1(0))=0属于T-1（0)，所以T-1(0)是T的不变子空间，同理T(T(V))属于T(V)，所以T(V)也是T的不变子空间。这两个空间是T的平凡不变子空间。
3）利用秩-零化度定理和1）的结论即证。
2、1）特征方程为x^2=x,所以特征值为0或1
2）T(a-T(a))=T(a)-T^2(a)=T(a)-T(a)=0，所以{a-T(a)：a属于V}包含于T-1(0)
另一方面，任给b属于T-1(0)，则b=b-T(b)，则T-1（0）包含于{b-T(b):b属于V}
得证。
3)利用1题的3），转证T-1(0)交T(V)={0}
反证法：设不成立，则有a,b属于V使a-T(a)=T(b)≠0，所以T^2(b)=T(b)=T(a-T(a))=0矛盾！
因此必有T-1(0)交T(V)={0}，从而命题得证。