高等数学 第一型曲面积分问题
计算∫∫(x^2+y^2)dS其中S是锥面z^2=3(x^2+y^2)被平面z=0和z=3所截的部分...
计算
∫∫(x^2+y^2)dS 其中S是锥面z^2=3(x^2+y^2)被平面z=0和z=3所截的部分 展开
∫∫(x^2+y^2)dS 其中S是锥面z^2=3(x^2+y^2)被平面z=0和z=3所截的部分 展开
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解：因为锥面得，Z=√(3x²+3y²)
由于(Zx)²=3x²/(x²+y²)，(Zy)²=3y²/(x²+y²)，
所以√(1+(Zx)²+(Zy)²)=√(1+3)=2
故∫∫﹙x^2+y^2﹚dS
=2∫∫﹙x^2+y^2﹚dxdy
（由于z=3与z^2=3(x^2+y^2)相交得：9=3(x^2+y^2)，即x²+y²=3，故积分投影区域为：x²+y²≤3）
转化为极坐标，得
=2∫∫ r^2 *rdrdθ
=2∫(0,2π) dθ∫(0,√3) r³ dr
=4π*(1/4)r^4 |(0,√3)
=9π
故∫∫(x^2+y^2)dS =9π。
由于(Zx)²=3x²/(x²+y²)，(Zy)²=3y²/(x²+y²)，
所以√(1+(Zx)²+(Zy)²)=√(1+3)=2
故∫∫﹙x^2+y^2﹚dS
=2∫∫﹙x^2+y^2﹚dxdy
（由于z=3与z^2=3(x^2+y^2)相交得：9=3(x^2+y^2)，即x²+y²=3，故积分投影区域为：x²+y²≤3）
转化为极坐标，得
=2∫∫ r^2 *rdrdθ
=2∫(0,2π) dθ∫(0,√3) r³ dr
=4π*(1/4)r^4 |(0,√3)
=9π
故∫∫(x^2+y^2)dS =9π。
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系科仪器
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