Question

已知在直角梯形ABCD中,AD‖BC,AB⊥BC,AD=11,BC=13,AB=12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP.线段PQ与BD

已知在直角梯形ABCD中,AD‖BC,AB⊥BC,AD=11,BC=13,AB=12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP.线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF‖BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x。
（1）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出四边形EFGQ的面积S

Answer 1

因为AD‖BC，所以△EDP∽△EQB,
所以EP：EQ=DE：EB=PD：BQ=1：2
所以EP：PQ=DE：DB=1：3
因为EF‖BC，所以△DEF∽△BCD,
所以△DEF的面积：△DBC的面积=（DE：DB）的平方=1：9
又因为△DBC的面积=1/2*BC*AB=1/2*13*12=78
所以△DEF的面积为78/9
因为AD‖BC,EF‖BC,所以EF‖AD,所以△PEF的面积=△DEF的面积=78/9(同底等高）
因为EF‖BC，所以△PEF∽△PQG,
且相似比为EP：PQ=1：3
所以△PEF的面积：△PQG的面积=1：9
所以△PEF的面积：四边形EFGQ的面积=1：8
即：四边形EFGQ的面积=8*△PEF的面积=8*78/9=624/9
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