Question

问题如图，高数微分方程相关。

Answer 1

建议看看这个网站。http://wenku.baidu.com/link?url=xA0cJsaRZKocHqP6gkwZQ6LH5I3dfo_GYzBaOR9pGOXYrnoXnYKcKeQharGdsWKIummGuu_kzvEuiUWtUv7XRhm-VYtZtRf_V_dQHBbd-uG

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这里是两对啊。。r^4+2r^2+1=0,(r^2+1)^2=0

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我知道，两对的话，不是应该都写上去吗

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你看我贴的那张图。高阶微分方程的解的形式有点复杂吧。。

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感觉还是有点对不上去-_-||你能解答一遍给我看下吗

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首先不同实根的解是c1e^r1x+c2e^r2x，但这里只有单根，而且还是0，所以是c1
然后重根是两对还是复根，所以k-1=1.±i，所以α=0，e^0=1，其次就是β=1，所以解的形式是c2cosx+c3xcosx+c4sinx+c5xsinx，这两个得加起来才是通解的形式，所以是y=c1+（c2+c3x）cosx+（c4+c5x）sinx

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不好意思，我看错了，k是k重复根，也就是说，这里的r的解是±i，但是因为有平方所以是二重的，你看那张图，出现上面的情况后把那些函数全部相加就行。比如说例9，两重四根1，所以按图特解1形式就是c1e^rx+c2xe^rx=(c1+c2x)e^x,这是实根得到的，而复根只有一重，所以按图中所给就是e^ax(c3cosbx+c4sinbx)=c3cosx+c4sinx,所以通解就是两个特解之和y=(c1+c2x)e^x+c3cosx+c4sinx
就我而言目前只能记下这个特解的形式，总之k重复根的话，cosβx和sinβx那部分要求和到x的k-1次方项，然后再相加。我不知道我所说的是否是在解答你的疑问，额。

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我想有些明白了，谢谢啦！

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我昨晚又想了一下，我印象中，二阶微分方程的通解好像是两个特解之和，那么我们可以推广到n阶的情况，也就是n阶微分方程，当然是针对齐次而言，通解形式是n个特解的线性组合，而且属于不同特征根的特解之间是线性无关的，我没办法推导出n阶特解为什么是这个形式，这个不好意思，只能麻烦你稍微记一下规律，然后你把k确定了，就可以写出特解了，这个时候把特征根对应的特解加起来，就得到通解了。这是我的想法，希望可以帮到你把

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嗯嗯，这些对目前的题目已经够用了，谢啦