Question

如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE是∠BAC的角平分线,EG⊥AB于G.求证CF=EG

Answer 1

AE是∠BAC的角平分线,,∠ACB=90°,EG⊥AB
CE=EG ,∠CEA=∠GEA
CD⊥AB于D,EG⊥AB
EG平行于CD
∠GEA=∠DFA=∠EFC
则∠EFC=∠CEA
则EC=FC
又因为CE=EG
所以FC=EG

追问

为什么EC=FC

追答

对不起，很久没写括号后的原因了：等角对等边

Answer 2

先利用角边角证明三角形AGE与ACE全等，得到EG=CE，∠GEA=∠CEA相等。
利用平行线，得到∠GEA=∠DFA。
又∠DFA=∠EFC。综合得到，∠EFC=∠FEC，即三角形EFC为等腰三角形。得到CF=CE。又因为EG=CE，可证明CF=EG.

Answer 3

因为AE是角平分线
所以假设角BAE=角EAC=角1
因为AE=AE，角BAE=角EAC
所以GE=EC
因为角直角三角形CDA，直角三角形ABC
所以角CAD+角CBD=角CAD+角DCA=90°
所以角CBD=角DCA=2角1
因为EG//CD
所以角DFA=角EFC=角GEF=90-角1，角BEG=角BCD=2角1
因为角FEC=180-角GEF-角BEG=180-（90-角1）-2角1=90-角1=角EFG
所以CE=CF
所以CF=EG