Question

已知p为椭圆x平方比4，加，Y方＝1上任意一点，f1f2是椭圆的两个焦点，求①|pf1|×|pf2|的最大值②|pf1|平

已知p为椭圆x平方比4，加，Y方＝1上任意一点，f1f2是椭圆的两个焦点，求①|pf1|×|pf2|的最大值②|pf1|平方＋|pf2|平方最小值

Answer 1

解：椭圆方程：x²/4+y²=1
a²=4,a=2
b²=1,b=1
设PF1=x，则PF2=2a-x=4-x(0<x<4)
PF1×PF2=x(4-x)=-x²+4x=-(x-2)²+4
此为二次函数，当x=2（在x的取值范围内），所以PF1*PF2最大值=4
此时PF1=PF2=2

PF1+PF2=2a=4
PF1²+PF2²+2PF1*PF2=16
PF1²+PF2²=16-2PF1*PF2
因为第一问中求出PF1*PF2的最大值为4
所以PF1²+PF2²的最小值=16-2×4=8

Answer 2

(1). 因为|PF1|+|PF2|=4
由均值不等式得：|PF1|+|PF2|≥2sqr(|PF1|·|PF2|)=4
当且仅当|PF1|=|PF2|,等号成立(显然|PF1|=|PF2|可以成立)
所以 |PF1|·|PF2|最大值为4

(2). 因为|PF1|+|PF2|=4
由均值不等式得：sqr[(|PF1|^2+|PF2|^2)/2]≥(|PF1|+|PF2|)/2=2
当且仅当|PF1|=|PF2|,等号成立(显然|PF1|=|PF2|可以成立)
所以|PF1|^2+|PF2|^2的最小值为8