Question

P是三角形ABC所在平面外的一点，A1、B1 、C 1分别是三角形PBC、PCA、PAB的重心，1、求证：平面A1B1C1平行

，

Answer 1

连结PA1,并延长交BC于A2,连结PB1,并延长交AC于B2,连结PC1,并延长交AB于C2, 

连结A2B2,B2C2,A2C2. 

因为A1、B1是三角形PBC、PCA的重心，

所以PA1:A1A2=2:1,PB1:B1B2=2:1, 

故PA1:A1A2=PB1:B1B2,

故A1B1‖A2B2,

即平面A1B1C1‖A2B2, 

同理可证B1C1‖B2C2,

即平面A1B1C1‖B2C2, 

又A2B2∩B2C2=B2,

所以平面A1B1C1//平面ABC.

Answer 2

因为 A1、B1、C1分别是三角形PBC、PCA、PAB的重心
所以A1、B1、C1分别是三角形PBC、PCA、PAB两条中位线的交点
所以 连接P与AB中点D、BC中点E、AC中点F
所以C1B1/DF=B1A1/EF=C1A1\DE=1/2
所以平面A1B1C1//平面ABC