Question

已知A,B,C均为正数，证明a平方+b平方+c平方+（1/a+1/b+1/c)平方≥6倍根号3，并

已知A,B,C均为正数，证明a平方+b平方+c平方+（1/a+1/b+1/c)平方≥6倍根号3，并确定a,b,c为何值时，等号成立

Answer 1

a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2
=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca
>=a^2+b^2+c^2+3(1/ab+1/bc+1/ca)=(a^2+3/ab)+(b^2+3/bc)+(c^2+3/ca)

>=2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)

>=6√3

a=b=c=四次根号3取等

Answer 2

∵a²+b²+c²+(1/a+1/b+1/c)²
=a²+b²+c²+1/a²+1/b²+1/c²+2/ab+2/bc+2/ca
≥a²+b²+c²+3(1/ab+1/bc+1/ca)=(a²+3/ab)+(b²+3/bc)+(c²+3/ca)
≥2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)=6√(3abc/abc)=6√3

∴a平方+b平方+c平方+(1/a+1/b+1/c)平方≥6倍根号3

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