Question

如图,抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点c,点o为坐标原点,

Answer 1

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）P是y轴上一动点（且不与A，B点重合），以P，O，B为顶点的三角形与△AOC相似，求出满足条件的点P的坐标．

 

解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3，
∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点C、E，则
 c＝3  3＝−4+2b+c，
解得b＝2c＝3，
∴该抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）由（1）知，抛物线解析式为y=-x²+2x+3．
易求A（-1，0），（3，0），
则OA=1，OB=3．
①当△AOC∽△POB时，OAOP=OCOB，即1OP=33，
解得，OP=1，
故P₁（0，1），P₂（0，-1）；
②当△AOC∽△BOP时，OAOB=OCOP，即13=3OP，
解得，OP=9，
故P₃（0，9），P₄（0，-9）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P₁（0，1），P₂（0，-1），P₃（0，9），P₄（0，-9）．