Question

已知函数f(x)= |lg(x-1)| 若a≠b,f(a)= f(b) ,则a+2b的取值范围是

最好用图像法之类的 简单明了一点

Answer 1

下面是f(x)和g(x)的图像：

f(x)=|lg(x-1)|的图像相当于把f(x)=lg x的图像向右平移一个单位长度后，将f(x)小于0的部分向上翻折

设1<a<b，由f(a)=f(b)可得：

|lg(a-1)|=|lg(b-1)|

由于a≠b，可变形为：

-lg(a-1)=lg(b-1)

1/(a-1)=b-1

b=1/(a-1)+1

将上式带入a+2b，得：

a+2b=a+2[1/(a-1)+1]

=a+2/(a-1)+2

设g(a)=a+2/(a-1)+2，求a+2b的取值范围，就相当于求g(a)在(1，+∞)上的值域。

将g(a)变形为对勾函数的形式：

g(a)=(a-1)+2/(a-1)+3

利用公式求g(a)min以及相应的取值：

g(a)min=2√ab+3=2√2×1+3=2√2+3

√b/a=√2/1=√2=a-1

解得a=1+√2，在(1，+∞)上

故a+2b的取值范围为：(2√2+3，+∞)