Question

已知函数f(x)=lnx - ax + (1-a)/x -1(a∈R) ,当0≤a<1/2时，讨论f(x)的单调性

已知函数f(x)=lnx - ax + (1-a)/x -1(a∈R) ,当0≤a<1/2时，讨论f(x)的单调性

Answer 1

f(x)定义域为(0,+无穷)
f'(x)=1/x - a - (1-a)/(x ^2) =-(ax^2-x+1-a)/(x^2)=-(ax-1+a)(x-1)/(x^2)
(ax-1+a)(x-1)=0的二正为1，1/a-1(0≤a<1/2时，1/a>2,1/a-1>1)
y=(ax-1+a)(x-1)是开口向上的抛物线，
当0<x<1时(ax-1+a)(x-1)>0,f'(x)<0,f(x)为单调递减函数。
当1<x<1/a-1时(ax-1+a)(x-1)<0,f'(x)>0,为单调递增函数
当x>1/a-1时(ax-1+a)(x-1)>0,f'(x)<0,为单调递减函数。
当x=1或x=1/a-1时(ax-1+a)(x-1)=0,f'(x)=0,
所以f(x)在(0,1]和[1/a-1,+无穷)上为单调递减函数,在[1,1/a-1]上为单调递增函数

Answer 2

设实数x1<x2<1/2
则f(x1)-f(x2)=lnx1-lnx2-a(x1-x2)+(1-a)(1/x1-1/x2)
=ln(x1/x2)+a(x2-x1)+(1-a)(x2-x1)/(x1x2)
=ln(x1/x2)+a(x2-x1)(1-(1/a -1)/(x1x2))
因为x1<x2<1/2
所以x1/x2<1 ln(x1/x2)<0
又因为a=<1/2
所以1/a>=2 (1/a -1)>=1
又因为x1x2<=1/4
所以1/(x2x1)>=4 (1/a -1)/(x1x2)>=1 (1-(1/a -1)/(x1x2)<=0
所以f(x1)-f(x2)<0 所以单调增

Answer 3

令f`(x)=1/x-a-(1-a)/x^2=0
x1=1 x2=1-1/a (当a不等于零时成立），x1>x2
f``(x)=-1/x^2+2(1-a)/x^3
令f``(x)>0, x[x-2(1-a)]<0 当0≤a<1/2时，0<x<2-2a
令f``(x)<0 x[x-2(1-a)]>0 当0≤a<1/2时，x<0 x>2-2a
当0<x<2-2a时，f(x)单调递增，当x<0 或 x>2-2a单调递减