Question

曲线与方程，求详解，回答好加分！！！

1.设p为椭圆x^2/9+y^2=1上的动点，过点p做椭圆长轴的垂涎，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为 （写出定义域）
2.若焦点坐标是（0，±5√2）的椭圆截直线3x-y-2=0所得弦的中点的横坐标是1/2，则椭圆的方程是 （定义域）

Answer 1

1.设p为椭圆x^2/9+y^2=1上的动点，过点p做椭圆长轴的垂涎，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为 （写出定义域）
解：设PM中点坐标为（x，y）
点P坐标（x，2y）代入椭圆方程
x²/9+(2y)²=1
x²/9+4y²=1
定义域：x∈[-3,3],y∈[-1/2,1/2]
2.若焦点坐标是（0，±5√2）的椭圆截直线3x-y-2=0所得弦的中点的横坐标是1/2，则椭圆的方程是 （定义域）
解：横坐标为1/2，那么纵坐标万恶3/2-y-2=0
y=-1/2
设椭圆方程为y²/a²+x²/b²=1
a²=b²+c²,根据题意c=5√2，c²=50
设直线交椭圆A（x1，y1）B（x2，y2）
则
y1²/a²+x1²/b²=1
y2²/a²+x2²/b²=1
两式相减
1/a²(y1²-y2²)+1/b²(x1²-x2²)=0
1/a²(y1+y2)(y1-y2)+1/b²(x1+x2)(x1-x2)=0
1/a²[2×（-1/2）](y1-y2)/(x1-x2)+1/b²×(2×1/2）=0
-1/a²×3+1/b²=0
1/b²=3/a²
a²=3b²
a²=b²+50
2b²=50
b²=25
a²=75
椭圆方程：y²/75+x²/25=1

Answer 2

1.设中点坐标（x,y）,p坐标(a,b)
则M坐标（a,0）
则2x=2a
2y=b+0=b
即a=x，b=2y
因为a^2/9+b^2=1
所以x^2/9+4y^2=1 为中点轨迹，定义域[-3,3]

Answer 3

1.设PM中点（X,Y）
则P(X,2Y) 代入椭圆方程
得 X^2/9+(2Y)^2=1
即X^2/9+4Y^2=1（X≠±3）

2.设 Y^2/A^2+X^2/B^2=1
B^2=A^2-50
代入 3x-2=y
整理得 (A^2+9B)*X^2-12B^2X+4B^2-A^2B^2=0
X1+X2=12B^2/(A^2+9B^2)=1
代入B^2=A^2-50
解得A^2=75
即Y^2/75+X^2/25=1