Question

【初二数学几何】如图，已知矩形ABCD中,AB=8,AD=12,E,F分别为AD和BC的中点，

如图，已知矩形ABCD中,AB=8,AD=12,E,F分别为AD和BC的中点，GH∥AD，GB:GE=2:3.

（1）判断BE与DF是否平行，若平行，求BE与DF间的距离；若不平行，请说明理由.
（2）求证：DG⊥EH
（3）求证：GF＞4.8

最好有过程什么的！拜托大家了！！

Answer 1

1. 平行。理由如下：ED=AD/2,BF=BC/2，又因为AD=BC,所以ED=BF,又因为ED//BF，所以四边形EBFD是平行四边形，所以EB//FD。间距可以用平行四边形的面积来算。以DE为底，AB为高，平行四边形EBFD的面积是6*8=48,间距就是以FD为底时的高，所以是48/FD,FD可以用勾股定理算，根号内（8的平方加6的平方）=10，因此间距为4.8

2. 这一步证明平行四边形EDHG是菱形就好了，先证明是平行四边形——EB//DF,AD//GH可以得到是平行四边形，再证明两边相等，ED=6,EG=3/5EB，上一步证明EB=10,所以EG也=6,这样就证明是菱形了，菱形的对角线垂直。

3. 第一步得到间距是4.8，所以GF大于等于4.8，既然要证明大于4.8，只需要证明不等于4.8就可以了，不等于就是证明不垂直。可以用反证法，假设垂直，那么三角形BGF就是直角三角形，GF=4.8，BG=4，BF=6,不满足勾股定理，所以不是直角三角形，矛盾，所以不垂直
   

追问

非常感谢。。不过我看不懂啊，能否直接写出过程？谢谢谢谢！！

追答

1. 平行。理由如下：
   在矩形ABCD中，AD=BC；

   又∵ED=AD/2,BF=BC/2，

   ∴ED=BF
   又∵ED//BF
   ∴四边形EBFD是平行四边形
   ∴EB//FD
   
   在Rt△ABE中，AE=AD/2=6，AB=8，
   ∴BE=√AE²+AB²=10

   若BE与DF间的距离为h，

   S平行四边形EDFB=ED*AB=BE*h

   ∴h=ED*AB/BE=6*8/10=4.8

2. ∵EB//DF,AD//GH，

   ∴四边形EDHG是平行四边形

   在平行四边形EDHG中，GB:GE=2:3
   ∴GE=3/5BE=6

   ∴GE=ED

   ∴平行四边形EDHG是菱形；

   ∴DG⊥EH

3. 假设GF⊥EB。

   则GF=4.8

   在Rt△FGB中，

   ∵GB:GE=2:3，∴GB=2/5BE=4

   FB=1/2AD=6,

   ∴GB²+GF²=4.8²+4²=39.04

   FB²=6²=36

   ∴GB²+GF²≠FB² 不满足勾股定理

   ∴△FGB不是直角三角形

   这与假设GF⊥EB矛盾，所以GF不垂直于EB
   
   又因为GF为平行线EB，FD间的线段，

   ∴GF＞4.8（平行线间垂线段最短）