Question

设函数f（x）=－（1／2）x²+13／2的定义域和值域分别是[a，b]和[2a，2b]，求a，b的值

Answer 1

思路：分情况讨论
解：易知，f（x）图象关于y轴对称，f（x）在（-∞，0）上单调递增，在[0，+∞）上单调递减
情况（1）若0＜a＜b，f（a）＞f（b）
则f（a）=2b，f（b）=2a
即-1/2 a²+13/2=2b —— ——①
-1/2 b²+13/2=2a—— ——②
由①得 b=-1/4 a²+13/4
代入②，得-1/2（-1/4 a²+13/4）²+13/2=2a
化简，得 a^4-26a²+64a-39=0————③
这个方程不好解，采取分解因式法。
设g（a）=a^4-26a²+64a-39，则方程③即为g（a）=0
先将39分解因数，39=3×13，将a=3代入g（a），可得g（3）=0
说明a=3是方程③的一个根
∴g（a）=（a-3）×A （A是代数式）
g（a）=（a^4-3a³）+（3a³-9a²）-（17a²-51a）+（13a-39）
=（a-3）a³+3（a-3）a²-17（a-3）a+13（a-3）
=（a-3）（a³+3a²-17a+13）
∴上述的A=a³+3a²-17a+13
同理，A=（a-1）（a²+4a-13）
解方程 a²+4a-13=0
得a1=-2+√17，a2=-2-√17
∴g（a）=（a-3）（a-1）[a-（-2+√17）] [a-（-2-√17）]
∴方程g（a）=0的根为
a1=3 a2=1 a3=-2+√17 a4=-2-√17
又a＞0，∴a＝3，1，-2+√17
若a=3 代入方程①，解得b=1＜a（舍去）
若a=1 代入①，得b=3 ∴a=1，b=3是一组解
若a=-2+√17，解得b=-2+√17=a
严格地讲，此时[a，b]不是一个区间，而是一个点，∴舍去
情况（2）若a＜0＜b
则f（0）=2b，f（a）=2a或f（b）=2a
则b=13/4 ∴f（b）=39/32
情况① 若f（a）=2a
即-1/2a²+13/2=2a且应满足f（a）≤f（b）
解得a1=-2+√17＞0（舍去），a2=-2-√17
此时满足f（a）＜f（b）
情况②若f（b）=2a 则应满足f（b）≤f（a）
a=39/64＞0（舍去）
情况（3）若a＜b＜0 则f（a）＜f（b）
∴f（a）=2a，f（b）=2b
即-1/2a²+13/2=2a
-1/2b²+13/2=2b
分别解之，得a1=-2+√17＞0（舍去），a2=-2-√17
b1=-2+√17＞0（舍去），b2=-2-√17=a（舍去）
综上所述，a=1，b=3或a=-2-√17，b=13/4
注：若题目改为“定义域为{x|a≤x≤b}、值域为{y|2a≤y≤2b}”
则a=b=-2+√17或a=b=-2-√17也可作为解