Question

已知,点O是四边形ABCD的外接圆和内切圆的圆心，内切圆与四边形各边分别相切于点E、F、G、H。

求证:四边形ABCD是正四边形。

Answer 1

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,外接圆和内切圆为同心圆.
反之，也成立，∴四边形ABCD是正四边形
若实在要证明
过程如下，
∵四边形ABCD有外接圆，∴存在一点O 满足OA=OB=OC=OD
∴∠A=90°，同理可证：∠B=∠C=∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形
过O作OM⊥BC于M ON⊥CD于N
∵存在一个内切圆 ∴OM=ON
可证 ：四边形MONC是矩形
∵OM=ON
∴四边形MNOC是正方形
∴MC=NC
由垂径定理得：BC=2MC CD=2NC
∴BC=CD
又四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是正方形 即正四边形