Question

如图，三角形ABC内接于圆O，AB=AC，过点A作AD垂直于AB交圆O于点D，交BC于点E，点F在DA的延长线上，

且∠ABF=∠C
（1）求证：BF是圆O的切线；
（2）若AD=4，cos∠ABF=4/5，求BC的长

Answer 1

①证明：

连接BD

∵AD⊥AB，即∠BAD=90°

∴BD是⊙O的直径（90°圆周角所对的弦是圆的直径）

∵∠ACB=∠ADB（同弧所对的圆周角相等）

   ∠ACB=∠ABF

∴∠ADB=∠ACB

∵∠ADB+∠ABD=90°

∴∠ABF+∠ABD=90°

即∠DBF=90°

∴BF是⊙O的切线

②作AH⊥BC于H

∵AB=AC

∴BH=CH（等腰三角形三线合一）

∵cos∠ABF=cos∠ADB=AD/BD=4/5

   AD=4

∴BD=5

根据勾股定理，AB=3，则AC=3

∵cos∠ABF =cos∠C=CH/AC=4/5

∴CH=12/5

则BC=2CH=24/5（或4.8）