Question

高中数学导数问题

为什么t平方的导数不等于2t
那个t的导数怎么来的

Answer 1

郭敦顒回答：
求（x²+3）²的导数，是对x求导
直接求导，[（x²+3）²]′=2（x²+3）×（x²+3）′=2（x²+3）×2x=4x（x²+3）
换元法求导，令t=（x²+3），则[（x²+3）²]′=[t²]′
=2t×t′=2（x²+3）×（x²+3）′
=2（x²+3）×2x=4x（x²+3）
注意，换元法求导最终结果仍是对x求导，而不是对中间变量（t）一次求导就完成的，所以，是[t²]′=2t×t′，而不是[t²]′=2t。
[t²]′=2t是对t求导，这不符合是对x求导的最终结果。
比较直接求导与换元法求导的过程与结果，你就会明白为什么不是[t²]′=2t，而是[t²]′=2t×t′了。

Answer 2

如果y=t²对t求导，则导数为2t

但是，
你要求的是y=t²对x的导数
所以，求完y对t的导数之后，还要乘以t对x的导数才是y=t²对x的导数。

追问

不懂可以详细点吗

追答

导数就是函数值随自变量变化的变化率，也可以说是变化的快慢

y=（x²+3）²的导数，就是y随x变化的变化率
令t=x²+3，则y=t²
如果直接对t求导，则相当于自变量为t，而不是x，
因此，所求的变化率是y随t变化的变化率，
即y随x²+3变化的变化率。
显然，这个变化率与y随x变化的变化率是不同的，
然而，将y随x²+3变化的变化率，与x²+3随x的变化的变化率相乘，
就是y随x变化的变化率，
即y对t的导数 乘以 t对x的导数，就是y对x的导数。

Answer 3

因为t只是一个中间函数，t里面含有题目所要求导数的x，所以对中间函数t求完导后还要对t求x的导数，如果未知数是t则实际上是=2t*t'这里t为未知数故一阶导数为1省略掉了而已

Answer 4

是这样的,你可以把t看做是x的函数,这个没问题吧
那么假设t=f(x)=x^2+3,然后用对函数的函数的求导法则
(t^2)'=(f^2)'=2f(x)×f'(x)=2t×t'
然后t的导数就是2x
所以(t^2)'=4(x^2+3)x
如果要追问记得说明哪一步不明白

追问

(f^2)'=2f(x)×f'(x)

这一步不懂

追答

你们复合函数求导学了吗?
假设g(x)=x^2
那么(t^2)'=(f^2)'=(g(f(x)))'

然后你对右式用复合函数求导法则,不知道的可以看教科书或者这里有简要说明
http://zhidao.baidu.com/link?url=ZXw3Jj0S9WuYohmT6wont9sElClBDRhZLuS7LYykzxxUCEy4WZjo69EPDlo1DtiBDqBU0MZlbnHvuY0tWtgAwK

Answer 5

你这道题，应该是对x求导吧，如果是对x求导，那么t=x^2+3，不是也需要求导么，你求的是x的倒数，不是t的。

追问

还是不懂

追答

首先你是对x求导，不是对t求导，这个没有问题吧。
t=很多的x的表达式
那么如果你只对t求了导数，那么你并没有对x求导。
举个例子，z=y^2 y=x^2
那么z对y求导是2y
z对x求导也是2y么？我们来看看动过等式可以看出z=x^4,那么z对于x的导数就是4x^3，不是2x^2
因为你的y还要对x求一下导数，你的导数的根基不是y，而是x。
所以就是2y*y的导数=2x^2*2x=4x^3
大概意思就是两层的导数相乘。