Question

y=(arctanx)^2,求x=0时y的n阶导数

Answer 1

y'=1/(1+x^2)
=1-x^2+(x^2)^2-(x^2)^3+...+(-1)^n(x^2)^n+... （让帆相当粗滑数于等比数列求和。由于这里要求x=0处的导数，所以岩首可以让x足够接近0，从而使这个式子的部分和的极限等于上面那个式子）
=1-x^2+x^4-x^6+...+(-1)^n*x^(2n)+...
所以y=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+...
这个就是arctanx在x=0处的泰勒展开式
可见，y^(2k)(0)=0
y^(2k+1)(0)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)
y^(2k+1)(0)=(-1)^k*(2k)!
希望对你能有所帮助。

追问

O(∩_∩)O谢谢，但是y=(arctanx)^2的导数与arctanx的导数是不一样的，但是平方式的n阶导数怎么求我还是不太懂o(╯□╰)o

Answer 2

y=(arctanx)^2

y'=2arctanx*(arctanx)'
=2arctanx*[1/漏稿基(x^2+1)]
=2arctanx/敬首(1+x^2).

y'返谨'=[2/(1+x^2)(1+x^2)-2arctanx*2x]/(1+x^2)^2
=2(1-2xarctanx)/(1+x^2)^2