Question

△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D为AB中点，点E在BC上，CE=3BE,AE与CD交于点F，求证角AEC=60°

求证角AFC=60度，刚才的是笔误

Answer 1

过A作AG⊥BC交BC于G，在BA的延长线上任取一点H。
∵AB＝AC、AG⊥BC，∴BG＝CG。
∵CE＝3BE，∴CG＋EG＝3BE，∴BG＋EG＝3（BG－EG），∴2BG＝4EG，∴BG＝2EG，
∴BE＝EG。
由BD＝AD、BE＝EG，得：ED＝（1/2）AG，∴ED/AG＝1/2。
∵∠BAC＝120°、AB＝AC，∴∠ACG＝30°，又AG⊥CG，∴AG＝（1/2）AC。
∴DA＝（1/2）AB＝（1/2）AC＝AG，∴ED/DA＝ED/AG＝1/2，又DA/AC＝（1/2）AB/AC＝1/2，
∴ED/DA＝DA/AC。

∵∠BAC＝120°、AG⊥BC、AB＝AC，∴∠BAG＝60°。
∵BD＝AD、BE＝EG，∴DE∥AG，∴∠BDE＝∠BAG＝60°，∴∠EDA＝120°＝∠DAC。
由∠EDA＝∠DAC、ED/DA＝DA/AC，得：△EDA∽△DAC，∴∠DAE＝∠ACD。
由三角形外角定理，有：∠AFC＝∠ADC＋∠DAE＝∠ADC＋∠ACD＝∠CAH。
∵∠BAC＝120°，∴∠CAH＝60°，∴∠AFC＝∠CAH＝60°。