Question

f1,f2是椭圆（x^2）/9+（y^2）/7=1的两个焦点,A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45度

则三角形AFF1F2的面积为

Answer 1

椭圆焦距＝2c=2*(9-7)^(1/2)=2√2
根据椭圆方程得知：F1,F2分别为(√2,0)和(-√2,0)
F1F2的长度为2√2，对应的角度为45度
A到F1和F2的距离之和为为2a=2*(9)^(1/2)=6
假设AF1=x,对应的角度为α，则AF2＝6-x，对应的角度为180-45-α
根据余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*CosA
(2√2)^2=x^2+(6-x)^2-2x(6-x)cos45
8=x^2+36-12x+x^2-√2(6x-x^2)
(2+√2)x^2-(12+6√2)x+28=0
x1=3+√(14√2-19)
x2=3-√(14√2-19)
半周长p=(2√2+6)/2=3+√2
根据海伦公式：
△AF1F2的面积S
＝√p(p-F1F2)(p-x1)(p-x2)
＝√(3+√2)(3-√2)(√2-√(14√2-19))(√2+√(14√2-19))

追问

海伦公式..答案很复杂 如果用高二的椭圆的简单性质呢

追答

线段F1F2=2c=2×√（a^2-b^2）=2×√（9-7）=2√2
设线段AF1=x
线段AF2=2a-x=6-x
余弦定理：cos45°=（8+x^2-(6-x)^2）÷（2×2√2×x）
解得x=7/2
正弦定理求面积：
S=1/2×2√2×7/2×sin45°=7/2