Question

数学函数奇偶性问题

已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2]，且在区间[-2,0]上递减，求满足f(1-m)+f(1+m^2)<0的师叔m的取值范围

Answer 1

f(-x)= -f(x)

令x=0
f(-0)= -f(0)
f(0)=0
以下证明f(x)在[-2,2]上是减函数，
对任意的 -2≤x1<x2≤2
如果 -2≤x1<x2≤0，f(x1)>f(x2)
如果-2≤x1≤0<x2
因为f(x)是[-2,0]上的减函数，所以，f(x1)≥f(0)=0
0<x2
0>-x2≥-2
0=f(0)<f(-x2)= - f(x2)
f(x2)<0; 从而，f(x1)>0>f(x2)
如果0<x1<x2
0>-x1>-x2≥-2
f(-x1)<f(-x2)
即-f(x1)<-f(x2)
f(x1)>f(x2)
综合可知：f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在[-2,2]上是减函数；
f(1-m)+f(1+m^2)<0
先考察定义域，
{-2≤1-m≤2
{-2≤1+m^2≤2
==>
{-2≤m-1≤2
{-3≤m^2≤1
==>
{-1≤m≤3
{m^2≤1
===>-1≤m≤1
f(1-m)+f(1+m^2)<0
f(1+m^2)<-f(1-m)
f(1+m^2)<f(m-1)

由于f(x)是[-2,2]上的减函数，所以，
1+m^2>m-1
m^2-m+2>0；判别式为：1-8= - 7<0
所以，
m^2-m+2>0恒成立；
所以，m的取值范围就是：[-1,1]

追问

错了

追答

你的题目是：
f(1+m^2)还是f(1-m^2)?
我在看你反教别人时写成f(1-m^2)

追问

不好意思 打错了 不过我知道答案了 谢谢

追答

单调减区间的扩展是一个难点，我写得相当准确；你仔细地看一看有好处！

Answer 2

f(x)为偶函数，则图关于Y轴对称，f(x)在[0,2]↘，则f(x)在[-2,0]↗，
（1）若m<1/2时，m<1-m,由f(1-m)<f(m),知f(x)↘,有0<m<1-m<2,解得-1<m<1/2
（2）若m>1/2时，m>1-m,由f(1-m)<f(m),知f(x)↗,有-2<m<1-m<0,解得1<m<3
所以，-1<m<1/2或1<m<3。
其中，
对(1)，0<m<1-m<2，得0<m<2且0<1-m<2，
即0<m<2且-1<m<1，与m<1/2求交集，得-1<m<1/2
对(2)，-2<m<1-m<0，得-2<m<0且-2<1-m<0，
即-2<m<0且1<m<3，与m>1/2求交集，得1<m<3

追问

让我来教你吧
奇函数f(X)的定义域为[-2,2],且在 区间[-2,0]内递减,则有在[0,2]内也是单调减的
即有f(1-m)<-f(1-m^2)
即有f(1-m)<f(m^2-1)
即有m^2-1<1-m, m^2+m-2<0
(m+2)(m-1)<0
-2<m<1
又有-2<=1-m<=2, -2<=1-m^2<=2
解得-1<=m<=3, -根号3<=m<=根号3
综上的范围是:-1<=m<1