Question

已知数列{an}满足an+1=3an+3^n,a1=1,求an

Answer 1

下面这个方法较简单：
a(n+1)=3an+3^(n+1),两边同除以3^(n+1)可得：
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^(n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
设an/ 3^n=bn,则b(n+1)=bn+1,
这说明数列{bn}是公差为1的等差数列，首项为b1=a1/3=1.
bn=b1+(n-1)•1=1+(n-1)•1=n.
即an/ 3^n=n,
∴an=n•3^n.

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Answer 2

∵a(n+1)=3an+3^n
∴a(n+1)/3^(n+1)=an/3^n+1/3
∴a(n+1)/3^(n+1)-an/3^n=1/3，为常数
而a1/3^1=1/3，∴数列{an/3^n}是以1/3为首项、1/3为公差的等差数列
an/3^n=1/3+1/3*(n-1)=1/3*n，∴an=n*(1/3)^(n-1)

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