有一抛物线的方程为y²=2px，过点（p,0)的方向向量为（1，p）的直线l与抛物线的两个交点为A
有一抛物线的方程为y²=2px，过点（p,0)的方向向量为（1，p）的直线l与抛物线的两个交点为A,B,O为坐标原点，若OA向量与OB向量的乘积=-1，求抛物线...
有一抛物线的方程为y²=2px，过点（p,0)的方向向量为（1，p）的直线l与抛物线的两个交点为A,B,O为坐标原点，若OA向
量与OB向量的乘积=-1，求抛物线的方程 展开
量与OB向量的乘积=-1，求抛物线的方程 展开
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直线l过点（p,0)，方向向量为（1，p）
所以直线的斜率k=p/1=p
那么l: y=p(x-p)，与y²=2px联立消去y：
p²(x-p)²=2px
化简得： p²x²-2(p³+p)x+p⁴=0
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)
∴x₁+x₂=2(p²+1)/p
x₁x₂=p²
∴ y₁y₂=p²(x₁-p)(x₂-p)
=p²[x₁x₂-p(x₁+x₂)+p²]
∵ OA向量●OB向量=-1
∴x₁x₂+y₁y₂=-1
∴p²+p²[p²-2(p²+1)+p²]=-1
∴p²=1 ,p=±1
(若条件有p>0,则p=1)
∴抛物线的方程为y²=±2x
所以直线的斜率k=p/1=p
那么l: y=p(x-p)，与y²=2px联立消去y：
p²(x-p)²=2px
化简得： p²x²-2(p³+p)x+p⁴=0
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)
∴x₁+x₂=2(p²+1)/p
x₁x₂=p²
∴ y₁y₂=p²(x₁-p)(x₂-p)
=p²[x₁x₂-p(x₁+x₂)+p²]
∵ OA向量●OB向量=-1
∴x₁x₂+y₁y₂=-1
∴p²+p²[p²-2(p²+1)+p²]=-1
∴p²=1 ,p=±1
(若条件有p>0,则p=1)
∴抛物线的方程为y²=±2x
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