Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠CO B=2∠PCB．（1）

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠CO B=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求∠P的度数；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB（1分） ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90°（2分） ∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP（3分） ∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线（4分） （2）∵PC=AC，∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠P（5分） ∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180° ∴3∠P=90° ∴∠P=30°（6分） （3）∵点M是半圆O的中点， ∴CM是角平分线， ∴∠BCM=45°（7分） 由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，∴BC= 1 2 AB=2（8分） 作BD⊥CM于D， ∴CD=BD= 2 2 BC= 2 ， ∴DM= 3 BD= 6 ∴CM= 2 + 6 （9分） ∴S △BCM= 1 2 CM?BD= 3 +1 （10分） ∵∠BOC=2∠A=60°，∴弓形BmC的面积= 2 3 π- 3 （11分） ∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为 2 3 π+1 （12分） （注：其它解法，请参照给分）