Question

如图已知：直线 交x轴于 点A，交y轴于点 B，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（3，0），B（0，3），C（1，0）

如图已知：直线 交x轴于 点A，交y轴于点 B，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点。（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线 上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由 ．

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Answer 1

解：（1）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入 得方程组 解得： ∴抛物线的解析式为 ： （2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图所示， 若△ABO∽△AP 1 D，则 ∴DP 1 =AD=4  ,∴P 1 若△ABO∽△ADP 2 ，过点P 2 作P 2 M⊥x轴于M，AD=4, ∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP 2 是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P 2 M，即点M与点C重合,∴P 2 （1，2） （3）如图设点E 则 ， ①当P 1 (-1,4)时，S 四边形AP1CE =S 三角形ACP1 +S 三角形ACE = ∴     ∴ ∵点E在x轴下方 ∴ 代入得： ,即 ∵△=(-4) 2 -4 ×7=-12<0 ∴此方程无解 ②当P 2 （1，2）时，S 四边形AP2CE =S 三角形ACP2 +S 三角形ACE = ∴      ∴ ∵点E在x轴下方   ∴   代入得： 即 ， ∵△=(-4) 2 -4 ×5=-4<0 ∴此方程无解 ∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E.