Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．（1）当折痕的另一端F在AB边

如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形B GEF为菱形，并求出折痕GF的长．

Answer 1

（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形， ∴GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG， ∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°； ∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°， ∵∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠HEG=∠AFE， 又∵∠EHG=∠A=90°， ∴△EAF ∽ △GHE， ∴ EF EG = AE GH ， ∴EF=5， ∴S △EFG = 1 2 EF?EG= 1 2 ×5×10=25． （2）由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF， ∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF， ∵EF ∥ BG， ∴∠BGF=∠EFG， ∴∠EGF=∠EFG， ∴EF=EG， ∴BG=EF， ∴四边形BGEF为平行四边形， 又∵EF=EG， ∴平行四边形BGEF为菱形； 连接BE， BE，FG互相垂直平分， 在Rt△EFH中， EF=BG=10，EH=AB=8， 由勾股定理可得FH=AF=6， ∴AE=AF+EF=16， ∴BE= A E 2 +A B 2 =8 5 ， ∴BO=4 5 ， ∴OG= B G 2 -B O 2 =2 5 ， ∵四边形BGEF是菱形， ∴FG=2OG=4 5 ， 答：折痕GF的长是4 5 ．