Question

如图，△ABC中，点E是AB，BC的垂直平分线的交点，AE的延长线交BC于点D，AB=AD，AE=BD。①求证：AB=BC；②

如图，△ABC中，点E是AB，BC的垂直平分线的交点，AE的延长线交BC于点D，AB=AD，AE=BD。①求证：AB=BC；②求∠DAC的度数．

Answer 1

解：（1）连接CE ∵点E是AB，BC的垂直平分线的交点， ∴AE=BE=CE， ∵∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，∠EAC=∠ECA ∴AE=BD， ∴BE=BD， ∴∠BED=∠BDE 又∵AB=AD， ∴∠ABD=∠BDE， ∴∠BED=∠ABD ∵∠BED=∠EAB+∠ABE，∠ABD=∠ABE+∠DBE， ∴∠EAB=∠EBD 又∵∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB， ∴∠EAB=∠ECB， ∴∠EAC+∠EAB=∠ECB+∠ECA，即∠BAC=∠BCA， ∴AB=BC； （2）设∠BAD=x， ∵AE=BE， ∴∠AEE=x， ∵∠BED是△ABE的外角， ∴∠BED=2x， ∵BE=BD， ∴∠ADB=∠BED=2x， ∵AB=AD， ∴∠ABD=2x， ∴∠BAD+∠ABD+∠ADB=x+2x+2x=180°，解得x=36°， ∴∠ABD=72°， ∵AB=BC， ∴∠BAC= = =54°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=54°-36°=18°。