Question

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4．（1）求f（x）的单调递减区间

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）f′（x）=3x 2 +2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4， 即 3+2a+b=0 1+a+b=-4 得 a=2 b=-7 ．（4分） 所以f′（x）=3x 2 +4x-7=（3x+7）（x-1）， 由f′（x）＜0，得- 7 3 ＜x＜1， 所以函数f（x）的单调递减区间（- 7 3 ，1）．（7分） （2）由（1）知f（x）=x 3 +2x 2 -7x，f′（x）=3x 2 +4x+7=（3x+7）（x-1）， 令f′（x）=0，解得x 1 =- 7 3 ，x 2 =1． f′（x），f（x）随x的变化情况如下表： 由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增． 故可得f（x） min =f（1）=-4，f（x） max =f（-1）=8．（13分）